Das Massenträgheitsmoment

Das Massenträgheitsmoment

Massenträgheitsmoment? Schon mal gehört? Wenn es darum geht, abzuschätzen, ob die Erde eine Voll- oder Hohlkugel ist, ist dieses Massenträgheitsmoment von entscheidender Bedeutung. Doch warum? Und was bedeutet es genau?

JedeR von euch kennt das Beispiel mit der Eiskunstläuferin, welche die Arme anzieht und sich so schneller dreht. Dies ist ein Beispiel dafür, wie die räumliche Verteilung der Masse eines Körpers einen Einfluss auf sein Rotationsverhalten hat. Im Fall der Eiskunstläuferin reden wir von Impulserhaltung: Da die Arme im ausgestreckten Zustand weiter aussen sind und sich schneller Bewegen, haben sie mehr Energie, sie "pumpen sich mit Energie auf", nehmen einen grossen Teil der Drehenergie der Eiskunstläuferin auf, so dass im Schnitt eine geringere Drehgeschwindigkeit heraus kommt. Nun stellt sich hier die Frage: Nach welcher Gesetzmässigkeit nehmen Arme Energie auf? Was macht es für einen Unterschied, ob die Eiskunstläuferin (z.B.) noch einen Stab in der Hand hält, einmal waagrecht nach aussen, einmal senkrecht zum Boden zeigend?
Diese Dinge werden durch das Massenträgheitmoment beschrieben.

Ein Massenträgheitsmoment macht nur Sinn, wenn man es in Bezug auf eine Achse definiert. Im Fall der Eiskunstläuferin ist das natürlich ihre Drehachse. Man kann aber auch eine beliebige, andere Achse wählen, zu der man das Massenträgheitsmoment bechreibt: Dies nennt man den "Satz von Steiner". (Ist hier nicht weiter von belang, da ich mich immer auf die Erdachse als Rotationsachse beziehen werde)

Was soll man sich nun unter einem "Massenträgheitsmoment" konkret vorstellen? Man könnte es als eine Art "Drehmasse" bezeichnen: Was die Masse für die Mechanik der Beschleunigung ist, ist das Massenträgheitsmoment für die Mechanik der Drehbewegung.
Wie berechnet man ein Massenträgheitsmoment? Dies ist nicht ganz einfach und erfordert die Integralrechnung. Man kann jedoch von jedem beliebigen Körper das Massenträgheitsmoment "J" bestimmen. Das von einigen wenigen geometrischen Körpern führe ich jetzt unten auf:

Dünner Stab, Achse in der Mitte, senkrecht zum Stab: J = 1/12 * M * L^2, wobei M die Masse und L die Länge des Stabes sind.

Dünne Kreisscheibe, Achse in der Mitte, senkrecht zur Scheibe: J = 1/2 * M * R^2, wobei M die Masse und R der Radius der Scheibe sind.

Ellipsoid, Achse parallel zur kürzesten Halbachse c: J = 1/5 * M * (a^2 + b^2), wobei M die Masse, a und b die beiden längeren Halbachsen der Scheibe sind.

Homogene Vollkugel, Achse durch den Kugelmittelpunkt: J = 2/5 * M * R^2, wobei M die Masse und R der Radius der homogenen Kugel sind.

Hohlkugel, Achse durch den Kugelmittelpunkt: J = 2/5 * M * (r(a)^5 - r(i)^5) / (r(a)^3 - r(i)^3), wobei M die Masse, r(a) der Aussenradius (Abstand der äusseren Oberfläche zum Zentrum) und r(i) der Innenradius (Abstand der inneren Oberfläche zum Zentrum) der Hohlkugel sind.

(Quelle: Stöcker, Taschenbuch der Physik, S.103/104)
Im Internet findet sich eine Zusammenfassung auf:
http://www.htwm.de/dlantzs1/Formeln%20Physik/Physik%2003%20Massenanziehung,Gravitation.htm

Wie gesagt: Diese Dinge folgen aus ganz grundlegenden physikalischen Dingen wie Dichte, Masse, Volumen, Radius, etc. Die Kompliziertheit der Rechnungen kommt nur von den komplizierten geometrischen Formen, welche runde Dinge für unsere Mathematik nun mal darstellen. Unzählige Dinge funktionieren problemlos, basierend auf diesen Gesetzen, wie Turbinen, Automotoren, Kreiselkompasse, Festplatten und vieles mehr. Die theoretische Beschreibung und praktische Umsetzung dieser Dinge entspricht sich exakt, es gibt also keinen Grund, an diesen Formeln zu zweifeln. Auch kommt (@alvaricus) die Gravitation nirgends vor, sie spielt hier keine Rolle, da es nur um das Verhalten geht, die ein Körper bestimmter Massenverteilung zeigt, wenn man ihn zum Rotieren bringt.

Das Massenträgheitsmoment der Erdachse beträgt 8.034 * 10^37 kgm^2
http://scienceworld.wolfram.com/physics/MomentofInertiaEarth.html

Damit lässt sich nun berechnen, ob die Erde eine Hohlkugel oder eine Vollkugel ist, in dem man die Gleichung nach diesem Wert auflöst:

Ist sie eine homogene Vollkugel, so muss gelten: J = 2/5 * M * R^2. Teilt man den bestimmten Wert von J durch die Erdmasse und den quadrierten Erdradius, so erhält man: 0.3309, ein Wert, welcher der Vorgabe für eine Vollkugel (2/5 = 0.4) sehr nahe kommt.

Ist sie hingegen eine Hohlkugel, so muss gelten: J = 2/5 * M * (r(a)^5 - r(i)^5) / (r(a)^3 - r(i)^3). M, r(a) sind bekannt, nur r(i) ist unbekannt. Für r(i) = 0 (also keine Hohlraumsphäre, da deren Radius 0 beträgt) geht die Gleichung nahtlos in die Gleichung für die Vollkugel über, da sich dann r(a)^5 / r(a)^3 zu r(a)^2 kürzt, womit wir exakt bei der Vollkugel wären. Für Werte von r(i) zwischen 0 und r(a) (mehr würde ja keinen Sinn machen) liegt der Wert zwangsläufig über 0.4, umso mehr, je grösser der Hohlraum wird, wird bei r(a) = r(i) sogar unendlich gross.
Man kann das Massenträgheitsmoment, das die Erde haben müsste, wenn sie eine Hohlkugel wäre, berechnen: Nehmen wir eine (hier schon mehrmals aufgestellte) Schalendicke von 1000 km an, erhalten wir folgenden Wert: 1.39 * 10^38, wesentlich mehr als der gemessene Wert. Ihr dürft gerne noch mit der Formel herumexperimentieren, ihr werdet aber feststellen, dass die erhaltenen Werte umso besser werden, je kleiner man den Innenraum macht, und umso schlechter, je dünner die Schale wird.

Woran liegt es, dass das Trägheitsmoment der Erde nun mal nicht genau 0.4 ist, sondern etwas darunter liegt? Eine Kugel, deren gesammte Masse in einem Punkt mit Ausdehnung R = 0 konzentriert hat, hat das Massenträgheitsmoment 0. Der Wert zwischen 0.4 und 0 kann folglich als "Zwischending" interpretiert werden: Die Masse der Erde ist zu einem gewissen Teil zum Zentrum hin konzentriert: Ein Hinweis auf einen massiven, dichten Kern, wie ihn auch die Erdbebenseismik (siehe später) voraus sagt.